페이저

Phasor는 AC신호에 대한 표현의 도구로 사용하고 있습니다.

왜 하필 우리는 Phasor를 사용할까요?

일단, 첫번째로 Phasor는 복소수입니다. 

이 복소수는 크기와 각도에 대한 모든 정보를 가지고 있기때문에 사용합니다.

즉, 신호를 진폭과 각도만으로도 표현할 수 있기 때문에 복잡한 회로를 쉽게 대수적으로 해석할 수 있습니다.

두번째로, Phasor는 미분과 관련이 있기 때문에 사용합니다.

앞으로 포스팅하며 다루겠지만, Capacitor나 Inductor 같은 경우는 미분을 사용할 일이 많아집니다.

그런데 미분으로만 나타내는 것으로 끝나는게 아니라 이 미분으로 사칙연산이 가능해집니다.


그렇다면 이제 Phasor에 대해 공부해보겠습니다.

먼저 평면상의 한 점을 표현하는 다양한 방법에 대해 알아보아야 합니다.

직각 좌표계

극 좌표계

원의 방정식 (삼각함수)

직각 좌표계의 점을 z (x, y) 로 나타낼 수 있다고 한다면, 
복소 평면상으로 옮겨서 가정 할 수 있습니다.
실수축은 x와 같고, 허수축은 y와 같다고 했을 때, 
점 z는 z = x +yj로 표현할 수 있습니다.


또한, 극 좌표계를 이용해서 z = r∠θ로 표현할 수 있습니다.

원의 방정식 z ( rcosθ, rsinθ )로 나타낼 수 있을때, 이는 지수함수로 다음과 같이 표현이 됩니다.

이때

여기서, 다시 Sine파 신호를 가정해봅시다. 

크기 A, 주파수 ω, 초기 각도 θ를 갖는 Sine파는 

v(t) = Asin(ωt + θ) 또는 v(t) = Acos(ωt + θ)로 나타낼 수 있습니다.

이로부터 동일한 각주파수를 갖는 신호에 대해선 오일러 공식 

 

를 이용해서 이렇게 유도할 수 있습니다.

(여기서 Re는 실수(Real Number)부분을 의미합니다.)

이 식에서 각주파수 ω가 동일하다면 , 신호를 크기 A와 각도 θ만으로도 표현되는 페이저 V로 나타낼 수 있습니다.

(원래 페이저는 bolt체로 써야하지만, 수식툴에서 bolt체를 적용하지 못해서 일반글씨체로 적었습니다. 양해부탁드립니다.)

즉, 다음과 같이 표현가능합니다.

Phasor는 단일 주파수 영역에서 정의되는 신호로 시간 성분을 포함하지 않고 크기와 위상만으로 나타내기 때문에, 

Sine파가 포함된 회로를 매우 간단하게 해석 할 수 있습니다.

그렇다면, 이 Phasor의 개념으로 곱셈, 나눗셈, 미분, 적분이 가능 할까요?

다음 표와 같이 가능합니다.

앞에서도 말했지만, Capacitor나 Inductor와 같이 미분과 적분을 포함하는 회로의 경우 이 Phasor를 사용하면 회로해석을 매우 쉽게 할 수 있습니다.

이번에는 Phasor의 비교에 대해 다루겠습니다.

같은 주파수를 갖는 

Sine파 전압 v(t) = Vcos(ωt + θ1) → V∠θ1

Sine파 전류 i(t) = Icos(ωt + θ2) → I∠θ2

두 신호의 위상차는 θ = θ1 - θ2 라고 정의해봅시다.

두 신호의 위상차에 따라 전압과 전류는 다음과 같다고 볼 수 있습니다.

θ = 0 일 때 : 두 신호의 전압과 전류는 같은 위상입니다.

θ > 0 일 때 : 전압이 전류를 앞서갑니다.

θ < 0 일 때 : 전압이 전류에 뒤쳐집니다.

θ = ± π/2 일 때 : 전압과 전류는 직교합니다.

θ = ± π 일 때 : 전압과 전류는 평각입니다.

출처

260개의 핵심 개념으로 이해하는 기초 전기전자에센스 (한빛아카데미)